Zastosowanie dwumianowego modelu wyceny opcji na rynku nieruchomości

Piotr Cegielski
MAI, MRICS, CCIM,
rzeczoznawca majątkowy

1. Wstęp

Zgodnie z powszechnie przyjętymi zasadami, określania wartości nieruchomości dokonuje się stosując następujące metody1 wyceny:

• metodę porównawczą
• metodę dochodową
• metodę odtworzeniową.

Jednocześnie w obszarze wyceny instrumentów finansowych wyróżnia się tzw. metodę wyceny arbitrażowej. Przez arbitraż rozumie się możliwość zrealizowania zysku bez ponoszenia ryzyka oraz nakładów inwestycyjnych, zaś metoda arbitrażowa polega na wyznaczeniu takiej ceny wycenianego instrumentu finansowego, przy której arbitraż jest niemożliwy.

” ]

Arbitrażowe metody wyceny stosowane są w wycenie instrumentów pochodnych, takich jak opcje lub kontrakty futures. Instrument pochodny jest instrumentem finansowym, którego wartość uzależniona jest od wartości (ceny) instrumentu podstawowego.

Jednym z modeli, który stosowany jest przy wycenie opcji, a jednocześnie oparty jest na metodzie arbitrażowej, jest model dwumianowy. Standardowo model ten przedstawiany jest na przykładzie rynku akcji, tym niemniej może być stosowany wszędzie tam, gdzie istnieje instrument podstawowy oraz zależny od niego pod względem wartości instrument pochodny.

W niniejszym artykule przedstawione zostaną możliwości wykorzystania dwumianowego modelu wyceny europejskiej opcji kupna w obszarze nieruchomości (przy czym możliwe jest przedstawienie omawianej procedury na przykładzie opcji sprzedaży).

2. Przykłady obliczeniowe – założenia i dane wejściowe

Omówienie proponowanej procedury rozpoczniemy od przedstawienia przykładów, które w pierwszej kolejności zostaną rozwiązane przy użyciu „tradycyjnych” metod wyceny, zaś w kolejnych podpunktach przedstawimy rozwiązania bazujące na wykorzystaniu metody arbitrażowej, stosując dwumianowy model wyceny opcji.

Założenia o charakterze ogólnym Na początek niezbędne jest dokonanie kilku następujących założeń o charakterze ogólnym, dotyczących rynku nieruchomości:

• koszty transakcji kupna/sprzedaży nieruchomości są pomijalne
• koszty posiadania/utrzymania nieruchomości są pomijalne
• nieruchomości charakteryzuje doskonała podzielność.

Pierwsze z dwóch założeń nie są niezbędne do zastosowania omawianego w dalszej części artykułu modelu, tym niemniej ułatwiają one demonstrację przykładów obliczeniowych. Należy przy tym zaznaczyć, iż z punktu widzenia obowiązujących w Polsce zasad wyceny nieruchomości, w wycenie nie uwzględnia się kosztów transakcji. Z kolei koszty utrzymania nieruchomości gruntowych niezabudowanych, względnie zabudowanych obiektami do rozbiórki (wyłączonych z eksploatacji), są relatywnie niewielkie.

Z założenia o pomijalnych kosztach posiadania (utrzymania) nieruchomości wynika jeszcze jeden, bardzo istotny wniosek – wartość nieruchomości nie może być mniejsza od zera.

Istotne jest natomiast trzecie założenie o doskonałej podzielności nieruchomości – chodzi tutaj o założenie, iż jeśli np. instrumentem podstawowym jest grunt niezabudowany, to na rynku możliwy jest zakup oraz sprzedaż działki w zasadzie o dowolnej powierzchni.

Przykład nr 1 – dane do obliczeń

W sąsiedztwie terenu przeznaczonego pod zabudowę jednorodzinną zlokalizowany jest teren, dla którego nie ma obowiązującego planu miejscowego. Z zapisów studium wynika, iż na tym terenie możliwa jest funkcja mieszkaniowa jednorodzinna lub zieleń miejska (park). Oczekuje się, iż przeznaczenie (funkcja) terenu będzie znane za 24 miesiące.

Analiza rynku wykazała, iż tereny przeznaczone pod zieleń miejską są zbywane na wolnym rynku za cenę równą 50 zł za 1 m2, zaś grunty przeznaczone pod zabudowę mieszkaniową osiągają poziom cen 200 zł za 1 m2 w przypadku terenów w całości przewidzianych pod zabudowę oraz 250 zł za 1 m2 w przypadku sąsiedztwa terenów przeznaczonych pod zieleń miejską.

Ceny gruntów rosną w takim tempie, iż za dwa lata można spodziewać się jednostkowych cen gruntu w wysokości 55 zł (tereny zielone) oraz odpowiednio 220 zł i 275 zł za grunty pod zabudowę mieszkaniową (10 proc. wzrost wartości w ciągu dwóch lat). Wolna od ryzyka stopa procentowa wynosi 10 proc. w skali roku, zaś koszty transakcyjne oraz koszty posiadania nieruchomości gruntowych są pomijalne.

Oszacować wartość rynkową działki o powierzchni równej 1000 m2 położonej na obszarze, dla którego brak jest planu miejscowego.

Przykład nr 2 – dane do obliczeń

Ceny gruntów kształtują się na poziomie 100 zł za 1 m2. Oczekuje się, że przez najbliższe dwa lata, w każdym kolejnym roku, ceny gruntów będą niezależnie rosły w tempie 5 proc. lub 20 proc. Zakładając dwuletni okres inwestycji, obliczyć wartość nieruchomości gruntowej o powierzchni 1000 m2 zabudowanej obiektami przeznaczonymi do rozbiórki, jeśli szacunkowy koszt prac rozbiórkowych wynosi w dniu dzisiejszym 110 000 zł i przewiduje się, że będzie rósł w tempie 5 tys. złotych rocznie, po dwóch latach osiągając poziom 120 000 zł.

Dokonując obliczeń, należy przyjąć stopę wolną od ryzyka 10 proc. (przy kapitalizacji rocznej) oraz pominąć koszty transakcyjne i koszty posiadania (utrzymania) nieruchomości.

3. Przykłady obliczeniowe – rozwiązania tradycyjne

Przykład nr 1

Wartość działki za dwa lata jest nieznana; w zależności od ustaleń planistycznych może to być 275 000 zł lub 55 000 zł. Przyjmując, iż prawdopodobieństwo realizacji każdego z wariantów jest tak samo prawdopodobne (założenie arbitralne), wartość oczekiwana wartości nieruchomości za dwa lata wynosi:

Zakup działki wiąże się ze stosunkowo dużym ryzykiem. Zakładając, iż premia za ryzyko wynosiłaby wariantowo 15 lub 20 proc., wartość bieżąca nieruchomości byłaby równa:

 

co oznacza odpowiednio 105,60 lub 97,63 zł za 1 m2 powierzchni nieruchomości.

Zauważmy, iż wykonanie obliczeń wymagało arbitralnego przyjęcia określonych parametrów (prawdopodobieństw przypisanych wariantom planu miejscowego oraz premii za ryzyko).

Przykład nr 2

W chwili obecnej sumaryczny koszt prac rozbiórkowych przewyższa jednostkową wartość gruntu niezabudowanego. Nie oznacza to jednak, iż wartość nieruchomości jest ujemna (koszt jej posiadania jest równy zero), a jedynie, iż przy obecnym stanie rynku nieopłacalne jest wykonanie prac rozbiórkowych, z jednoczesnym zbyciem nieruchomości.

Widać jednak, iż w przyszłości (za 2 lata) koszt robót rozbiórkowych może być niższy od wartości gruntu, co oznaczałoby opłacalność przeprowadzenia tych robót, a w konsekwencji dodatnią (choć nieznaną) wartość bieżącą nieruchomości. Po dwóch latach jednostkowa wartość gruntu może osiągnąć poziom 144,00, 126,00 lub 110,25 zł za 1 m2 powierzchni, zaś wartość nieruchomości zabudowanej obiektami do rozbiórki byłaby równa odpowiednio 24 000 zł, 6 000 zł lub też przedstawiałby sobą wartość pomijalną, reprezentowaną kwotą 0,00 zł (uwzględniając koszt rozbiórki wynoszący 120 000 zł).

Podobnie, jak w pierwszym przykładzie, niezdefiniowane jest prawdopodobieństwo tempa zmian (tutaj: wzrostu) cen gruntów. Przyjmijmy, iż w każdym kolejnym rocznym okresie prawdopodobieństwo wzrostu cen gruntów o 5 oraz 20 proc. wynosi 50 proc. Oznacza to, iż wartość oczekiwana jednostkowej wartości gruntu niezabudowanego za dwa lata będzie równa:

zaś wartość oczekiwana wartości działki o powierzchni 1000 m2 zabudowanej obiektami do rozbiórki wynosi:

Oczywiste jest, iż nabywając przedmiotową działkę w dniu dzisiejszym, inwestor ponosiłby określone ryzyko (wartość nieruchomości za dwa lata jest nieznana i może się wahać od 0 do 24 000 złotych). W związku z tym niezbędne jest przyjęcie drugiego parametru, a mianowicie premii za ryzyko.

Zakładając, iż stopa wolna od ryzyka wynosi 10 proc. w skali roku (przy założeniu kapitalizacji rocznej), a premia za ryzyko wynosiłaby wariantowo 15, albo 20 proc. (założenie arbitralne), bieżąca wartość nieruchomości zabudowanej obiektami do rozbiórki przedstawiałaby się następująco:

4. Zastosowanie ...